Обратная функция

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Содержание

1 Определение
2 Существование
3 Примеры
4 Свойства
5 Разложение в степенной ряд
6 См. также

Определение

Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

для всех
для всех

Существование

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение относительно . Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к не существует. Таким образом, функция обратима на интервале тогда и только тогда, когда на этом интервале она инъективна.

Для непрерывной функции выразить из уравнения возможно в том и только том случае, когда функция монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её монотонности. Например, является обратной функцией к на , хотя на промежутке обратная функция другая: .

Примеры

Если , где то
Если , где фиксированные постоянные и , то
Если , то

Свойства

Областью определения является множество , а областью значений множество .
По построению имеем:

или

или короче

где означает композицию функций, а — тождественные отображения на и соответственно.

Функция является обратной к :

Пусть — биекция. Пусть её обратная функция. Тогда графики функций и симметричны относительно прямой .

Разложение в степенной ряд

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:

$F^{-1}(y) = \sum_{k=0}^\infty A_k(x_0) \frac{(y-f(x_0))^k}{k!},$

где коэффициенты задаются рекурсивной формулой:

$A_k(x)=\begin{cases} A_0(x)=x \\ A_{n+1}(x)=\frac{A_n'(x)}{F'(x)}\end{cases}$

Snowimage-e.ru

Зимняя одежда

Темы